Question

13．如图，已知梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，CD⊥DE，AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，连接BC，BF．
（Ⅰ）若G为AD边上一点，DG=$\frac{1}{3}$DA，求证：EG∥平面BCF；
（Ⅱ）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得DA、DE、DC两两互相垂直，以D为坐标原点，分别以ED、DC、DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面BCF的一个法向量，
由平面法向量与$\overrightarrow{EG}$平行证明EG∥平面BCF；
（Ⅱ）把多面体ABCDEF的体积分解为两个棱锥的体积求解．

解答 （Ⅰ）证明：∵梯形CDEF与△ADE所在的平面垂直，AD⊥DE，∴AD⊥平面CDEF，
则AD⊥DC，又CD⊥DE，
∴以D为坐标原点，分别以ED、DC、DA所在直线为x，y，z轴
建立空间直角坐标系，
∵AB∥CD∥EF，AE=2DE=8，AB=3，EF=9，CD=12，
且DG=$\frac{1}{3}$DA，
∴E（-4，0，0），G（0，0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），C（0，12，0），
F（-4，9，0），B（0，3，$4\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{BC}=（0，9，-4\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{BF}=（-4，6，-4\sqrt{3}）$．
设平面BCF的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=9y-4\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-4x+6y-4\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}=（-1，\frac{4}{3}，\sqrt{3}）$．
$\overrightarrow{EG}=（4，0，\frac{4\sqrt{3}}{3}）$，∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EG}=0$．
∵EG?平面BCF，∴EG∥平面BCF；
（Ⅱ）解：连接BD，BE，
则V_ABCDEF=V_B-CDEF+V_B-ADE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（9+12）×4×4\sqrt{3}+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×4\sqrt{3}×3$=$64\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，训练了利用空间向量证明线面平行，训练了多面体体积的求法，是中档题．