Question

【题目】已知动圆过定点，且与直线相切.

（1）求动圆的圆心轨迹的方程；

（2）是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直线存在，其方程为.

【解析】

（1）设为动圆圆心，根据圆与直线相切可得，结合抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，从而解决问题；

（2）对“是否存在性”问题，先假设存在，设直线的方程为，与抛物线方程联立结合根的判别式求出的范围，再利用向量垂直求出值，看它们之间是否矛盾，没有矛盾就存在，否则不存在．

（1）如图，

设为动圆圆心，，

过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：

即动点到定点与到定直线的距离相等，

由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，

其中为焦点，为准线，

动圆圆心的轨迹方程为；

（2）由题可设直线的方程为

由得；

△，

解得或

设，，，，则，

由，即，

得

解得或（舍去），

直线存在，其方程为．