Question

【题目】已知抛物线，过点的直线与抛物线交于 两点，又过两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点。

（1）证明：直线的斜率之积为定值；

（2）求面积的最小值

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）设直线方程为，通过联立直线与抛物线方程得到，用韦达定理表示出，再利用导数的几何意义表示出两切线的乘积，即可解得

（2）先采用设而不求得方法联立和得

再利用弦长公式表示出，结合点到直线距离公式表示出三角形面积，分析因式特点，即可求解

（1）证明：由题意设 的方程为 ，

联立 ，得 因为 ，

所以设 ，则

设直线 的斜率分别为 ，

对 求导得 ，

所以 ，

所以，（定值）

（2）解：由（1）可得直线 的方程为

①

直线 的方程为

②

联立①②，得点 的坐标为，

由（1）得 ，

所以 .

于是 ，

点 到直线 的距离，

所以 ，

当，即时，的面积取得最小值