Question

12．设函数f（x）=lnx-ax²+ax，a为正实数．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求证：f（$\frac{1}{a}$）≤0；
（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；
（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；
（3）由题意可知，函数f（x）有且只有1个零点为（1，0），则f′（1）=0，即可得出结论．

解答 （1）解：当a=2时，f（x）=lnx-2x²+2x，f′（x）=$\frac{1}{x}$-4x+2，
∴f′（1）=-1，
∵f（1）=0，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=-x+1；
（2）证明：f（$\frac{1}{a}$）=-lna-$\frac{1}{a}$+1（a＞0），
令g（x）=-lnx-$\frac{1}{x}$+1（x＞0），则g′（x）=$\frac{1-x}{{x}^{2}}$，
∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，
∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，
∴g（x）≤g（1）=0，
∴f（$\frac{1}{a}$）≤0；
（3）解：由题意可知，函数f（x）有且只有1个零点为1，
则f′（1）=0，即1-2a+a=0
∴a=1．

点评 本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．