Question

设P，Q是双曲线x²-y²=4

2

上关于原点O对称的两点，将坐标平面沿双曲线的一条渐近线l折成直二面角，则折叠后线段PQ长的最小值为（　　）

• A、2

  2

• B、3

  2

• C、4

  2

• D、4

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：等轴双曲线x2-y2=4

2

的两条渐近线互相垂直，折叠后另一条渐近线垂直于另一个半平面，由此利用两点间距离公式和均值定理能求出折叠后线段PQ长的最小值．

解答： 解：∵等轴双曲线x2-y2=4

2

的两条渐近线互相垂直，
∴折叠后另一条渐近线垂直于另一个半平面，
设P（-m，-n），Q（m，n），
则m2-n2=4

2

，
过Q作QR⊥l，垂足为R，
连结PR，则QR垂直于平面POR，
在平面直角坐标系中，若直线l的方程为x+y=0，
则直线QR的方程为x-y=m-n，
∴R（

m-n

2

，

n-m

2

），
根据两点间的距离公式，得：
|PQ|²=|QR|²+|PR|²=（m+n）²+2（n-m）²=（m+n）²+

64

(m+n)2

≥16，
∴|PQ|_min=4．
故选：D．

点评：本题考查折叠后线段长的最小值的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式和均值定理的合理运用．