Question

4．函数y=f（x）的定义域为R，当x＞0时，有f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求证：f（x）在R上单调递增；
（2）解不等式f（x）≤$\frac{1}{f（x+1）}$．

Answer 1

分析 （1）设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，结合当当x＞0时，f（x）＞1，可得f（x₁）＞f（x₂），进而根据函数单调性的定义，可得函数f（x）在R上的单调性．
（2）根据抽象函数关系，令y=-x得f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$将不等式进行转化求解即可．

解答 解：（1）令x=0，y=1，则f（0+1）=f（0）f（1）=f（1），
∵x＞0，f（x）＞1，
∴f（1）≠0；
则f（0）=1；
∵当x＞0时，f（x）＞1
∴设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
则x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上是单调递增函数．
（2）令y=-x，则f（x-x）=f（x）f（-x）=f（0）=1，
∴f（x）≠0且f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$，
则f（x）≤$\frac{1}{f（x+1）}$等价为f（x）≤f（-x-1）．
∵f（x）在R上单调递增，
∴x≤-x-1，即x≤$-\frac{1}{2}$，即不等式的解集为（-∞，$-\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查的是函数的单调性证明问题．抽象函数的单调性的判定，以及赋值法的应用，在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、转化法以及赋值法等知识．