Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值及其f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦函数的周期性求得ω，再利用正弦函数的单调性，得出结论．
（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性、最值，得出结论．

解答 解：（Ⅰ）因为函数$f（x）=\sqrt{2}sin（ωx+\frac{π}{4}）$（ω＞0）的最小正周期为π∴$T=\frac{2π}{ω}=π⇒ω=2$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}，k∈Z$，
所以函数f（x）的单调递增区间为$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]k∈Z$．
（Ⅱ）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，
∴当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{π}{8}$时，函数f（x）取得最大值$\sqrt{2}$，
当$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$，即$x=\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值$\sqrt{2}×（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）=-1$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性和单调性、最值，属于基础题．