Question

12．设向量$\overrightarrow{a}$=（4cosα，sinα），$\overrightarrow{b}$=（sinβ，4cosβ），$\overrightarrow{c}$=（cosβ，-4sinβ）
（1）若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$垂直，求tan（α+β）的值；
（2）若β∈（-$\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}$]，求|$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$垂直，转化为数量积为0，结合三角函数的两角和差的公式进行转化求解即可．
（2）根据向量模长的公式 进行化简，结合三角函数的有界性进行求解．

解答 解：（1）$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ） 
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$垂直，
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{b}$-2$\overrightarrow{c}$）=0，
即4cosαsinβ-8cosαcosβ+4sinαcosβ+8sinαsinβ=4sin（α+β）-8cos（α+β），
则sin（α+β）=2cos（α+β），
即tan（α+β）=2，
（2）由$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
则|$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|²=（sinβ+cosβ）²+（4cosβ-4sinβ）²=17-15sin2β，
∵β∈（-$\frac{π}{12}，\frac{5π}{12}$]，
∴2β∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
则$-\frac{1}{2}$＜sin2β≤1，
则2≤17-15sin2β＜$\frac{49}{2}$，
则2≤|$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|²＜$\frac{49}{2}$，
则$\sqrt{2}$≤|$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|＜$\frac{7\sqrt{2}}{2}$
即|$\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|的取值范围是[$\sqrt{2}$，$\frac{7\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查平面向量与三角函数的综合应用，根据向量数量积的定义以及向量模长公式，三角函数的有界性进行化简是解决本题的关键．