Question

13．已知直线y=x+1与曲线y=alnx相切，若a∈（n，n+1）（n∈N⁺），则n=3．（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）

Answer 1

分析 求导数，确定切点的坐标，再构造函数，即可得出结论．

解答 解：∵f（x）=alnx，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$，
令$\frac{a}{x}$=1，可得x=a，故切点为（a，a+1），
代入y=alnx，可得a+1=alna．
构造f（x）=x+1-xlnx，则f（3）=4-3ln3＜0，f（4）=5-5ln5＞0，
∴x∈（3，4），
∴a∈（3，4），
故答案为3．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数零点存在定理，属于中档题．