Question

2．若圆x²+y²-2x-2y=0上至少有三个不同点到直线l：y=kx的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

• A． [15°，45°]
• B． [15°，75°]
• C． [30°，60°]
• D． [0°，90°]

Answer 1

分析 把圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和半径r的值，由圆A上有且仅有三个不同点到直线l：y=kx的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则圆心A到直线l的距离等于r-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的取值范围，然后根据直线斜率与倾斜角的关系，利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值即可求出直线l的倾斜角．

解答 解：由圆x²+y²-2x-2y=0的标准方程（x-1）²+（y-1）²=2，则圆心为（1，1），半径为$\sqrt{2}$，
圆上至少有三个不同的点到直线l：y=kx的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则圆心到直线的距离应不大于等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{丨1-k丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，整理得：k²-4k+1≤0，解得：2-$\sqrt{3}$≤k≤2+$\sqrt{3}$，
由tan15°=tan（45°-30°）=$\frac{tan45°-tan30°}{1+tan45°tan30°}$=2-$\sqrt{3}$，
tan75°=tan（45°+30°）=$\frac{tan45°+tan30°}{1-tan45°tan30°}$=2+$\sqrt{3}$，
k=tnaα，则直线l的倾斜角的取值范围[15°，75°]，
故选B．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，两角和与差的正切函数公式，直线斜率与倾斜角的关系，以及特殊角的三角函数值，属于中档题．