Question

12．已知数列{a_n}的前五项依次为$0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{15}}}{5}，\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，请参考前四项归纳猜想出一个通项公式，且第五项也满足猜想，你的猜想结果是a_n=$\sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$．

Answer 1

分析 根据题意，由数列{a_n}的前四项，归纳分析可以推测a_n=$\sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$，验证n=5时是否成立，即可得答案．

解答 解：根据题意，数列{a_n}的前四项依次为$0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{15}}}{5}$，
则有a₁=$\sqrt{\frac{1-1}{1+1}}$=0，
a₂=$\sqrt{\frac{2-1}{2+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
a₃=$\sqrt{\frac{3-1}{3+1}}$=$\sqrt{\frac{2}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
a₄=$\sqrt{\frac{4-1}{4+1}}$=$\sqrt{\frac{3}{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
则可以推测a_n=$\sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$，
当n=5时，a₅=$\sqrt{\frac{5-1}{5+1}}$=$\sqrt{\frac{4}{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，符合题意；
故答案为：$\sqrt{\frac{n-1}{n+1}}$．

点评 本题考查归纳推理的应用，关键是分析该数列的前5项，发现变化的规律．