Question

已知函数f（x）=x³+ax²-

4

3

a（a∈R），若存在x₀，使f（x）在x=x₀处取得极值，且f（x₀）=0，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：f′（x）=3x²+2ax，令f′（x）=0，解得x=0或-

2a

3

．由于存在x₀，使f（x）在x=x₀处取得极值，可知x₀=-

2a

3

，由f（x₀）=0，解出即可．

解答： 解：f′（x）=3x²+2ax=3x(x+

2a

3

)．
令f′（x）=0，解得x=0或-

2a

3

．
∵存在x₀，使f（x）在x=x₀处取得极值，
∴-

2a

3

≠0，即a≠0．
当a≠0时，可知：0，-

2a

3

都是f（x）的极值点．
但是x₀≠0，否则由f（0）=0得到a=0．
因此x₀=-

2a

3

，由f（x₀）=0，
可得(-

2a

3

)3+a×(-

2a

3

)2-

4

3

a=0，
化为a²=9，
解得a=±3．
故答案为：±3．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力和计算能力，属于难题．