Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作与x轴垂直的直线，分别与双曲线、双曲线的渐近线交于点M、N（均在第一象限内），若

FM

=4

MN

，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：取双曲线双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线其方程为y=

b

a

x，将x=c代入渐近线方程，利用

FM

=4

MN

，结点M在双曲线上，可得

c2

a2

-

m2

b2

=1，从而得出b，c之间的关系：5b=4c，最后利用率心率公式即可得出双曲线的离心率．

解答： 解：取双曲线双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一条渐近线其方程为y=

b

a

x，
设M(c，m)，N(c，

bc

a

)，

FM

=4

MN

，则m=4(

bc

a

-m)⇒25m2=

16b2c2

a2

①
点M在双曲线上，∴

c2

a2

-

m2

b2

=1②
由①②及c²=a²+b²得9c²=25a²，
∴e=

5

3

．
故答案为：

5

3

．

点评：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．