已知函数和点,过点作曲线的两条切线、,切点分别为、.
(Ⅰ)设,试求函数的表达式;
(Ⅱ)是否存在,使得、与三点共线.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数,在区间内总存在个实数,,使得不等式成立,求的最大值.
(Ⅰ)函数的表达式为.
(Ⅱ)存在,使得点、与三点共线,且 .
(Ⅲ)的最大值为.
解析试题分析:(Ⅰ)设、两点的横坐标分别为、,
,
∴切线的方程为:,
又切线过点,
有,即, (1)
同理,由切线也过点,得.(2)
由(1)、(2),可得是方程的两根,
( * )
,
把( * )式代入,得,
因此,函数的表达式为.
(Ⅱ)当点、与共线时,,
=,即=,
化简,得,
,. (3)
把(*)式代入(3),解得.
存在,使得点、与三点共线,且 .
(Ⅲ)解法:易知在区间上为增函数,
,
则.
依题意,不等式对一切的正整数恒成立,
,
即对一切的正整数恒成立.
,
,
.
由于为正整数,.
又当时,存在,,对所有的满足条件.
因此,的最大值为.
解法:依题意,当区间的长度最小时,
得到的最大值,即是所求值.
,长度最小的区间为
当时,与解法
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设函数的最大值为,最小值为,其中.
(1)求、的值(用表示);
(2)已知角的顶点与平面直角坐标系中的原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边经过点.求的值.
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提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当时,车流速度是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时,求函数的表达式;
(Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).
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国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款(即无利息贷款),旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费.每一年度申请总额不超过6000元.某大学2013届毕业生小王在本科期间共申请了24000元助学贷款,并承诺在毕业后年内(按36个月计)全部还清.签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元,第个月开始,每月工资比前一个月增加直到4000元.小王计划前12个月每个月还款额为500,第13个月开始,每月还款额比前一个月多元.
(1)假设小王在第个月还清贷款(),试用和表示小王第()个月的还款额;
(2)当时,小王将在第几个月还清最后一笔贷款?
(3)在(2)的条件下,他还清最后一笔贷款的那个月工资的余额是否能满足此月元的基本生活费?(参考数据:)
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已知函数f(x)=ax2+2x+c(a、c∈N*)满足:①f(1)=5;②6<f(2)<11.
(1)求a、c的值;
(2)若对任意的实数x∈,都有f(x)-2mx≤1成立,求实数m的取值范围.
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某人2002年底花100万元买了一套住房,其中首付30万元,70万元采用商业贷款.贷款的月利率为5‰,按复利计算,每月等额还贷一次,10年还清,并从贷款后的次月开始还贷.
(1)这个人每月应还贷多少元?
(2)为了抑制高房价,国家出台“国五条”,要求卖房时按照差额的20%缴税.如果这个人现在将住房150万元卖出,并且差额税由卖房人承担,问:卖房人将获利约多少元?(参考数据:(1+0.005)120≈1.8)
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