Question

已知函数.
（1）求函数的定义域，并判断的奇偶性；
（2）用定义证明函数在上是增函数；
（3）如果当时，函数的值域是，求与的值.

Answer 1

．解：（1） ，函数是奇函数.
（2）设、算、证、结
（3），

解析试题分析：
思路分析：（1）由，求得 
计算知函数是奇函数.
另证：对任意0，
（2）利用“定义”“设、算、证、结”。
（3）根据且在的值域是，
得到a的方程解得（舍去）
得到，。
解：（1）令，解得, 
对任意
所以函数是奇函数.
另证：对任意，
所以函数是奇函数.
（2）设，
                                                              
∴
∴
∴   ∵  ∴
∴，∴
所以函数在上是增函数.
（3）由（2）知，函数在上是增函数，
又因为时，的值域是，
所以且在的值域是，
故且（结合图像易得）
解得（舍去）
所以，
考点：对数函数的性质，函数的奇偶性、单调性。
点评：中档题，本题主要考查对数函数的性质，利用函数的奇偶性、单调性定义，判断函数的奇偶性，证明函数的单调性，属于基础题目。