Question

已知椭圆C的极坐标方程为ρ²=

12

3cos2θ+4sin2θ

，点F₁，F₂为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=2+ 2 2 t y= 2 2 t

（t为参数，t∈R）．
（1）求直线l的普通方程和椭圆C的直角坐标方程；
（2）求点F₁，F₂到直线l的距离之和．

Answer 1

考点：直线的参数方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）把直线l的参数方程消去参数，可得它的普通方程；把曲线的极坐标化为直角坐标方程，化简可得结果．
（2）由（1）可得点F₁和F₂的坐标，利用点到直线的距离公式求得点F₁，F₂到直线l的距离，可得结论．

解答： 解：（1）由直线l的参数方程为

x=2+ 2 2 t y= 2 2 t

（t为参数，t∈R），消去t，
可得 y=x-2，即直线l的普通方程为 x-y-2=0．
由椭圆C的极坐标方程为ρ²=

12

3cos2θ+4sin2θ

，可得3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12，
化为直角坐标方程为 3x²+4y²=12，即

x2

4

+

y2

3

=1．
故椭圆C的直角坐标方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由（1）可得点F₁（-1，0），F₂（1，0），
求点F₁到直线l的距离为

|-1-0-2|

2

=

3 2

2

，F₂到直线l的距离为

|1-0-2|

2

=

2

2

，
∴点F₁，F₂到直线l的距离之和为

3 2

2

+

2

2

=2

2

．

点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．