【题目】如图,直三棱柱中,
,
,
,
,M、N分别是
和
的中点.
(1)求异面直线与
所成的角;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)(2)2
【解析】
(1)过A作AQ∥C1N,交A1C1于Q,连接B1Q,可得∠B1AQ(或其补角)是异面直线AB1与C1N所成角.在△B1AQ中,分别求出AB1、AQ和B1Q的长,结合余弦定理算出cos∠B1AQ的值,从而得到异面直线AB1与C1N所成的角是arccos;
(2)平面A1B1C1中,过M作MH⊥A1C1于H.根据直三棱柱的性质结合面面垂直的性质定理,得到MH⊥平面AA1C1C,MH是三棱锥M﹣C1CN的高.算出MH的长和△C1CN的面积,结合三棱锥的体积公式,可得三棱锥M﹣C1CN的体积.
(1)平面AA1C1C中,过A作AQ∥C1N,交A1C1于Q,连接B1Q
∴∠B1AQ(或其补角)就是异面直线AB1与C1N所成的角
矩形AA1C1C中,N是AC中点,可得Q是A1C1中点
Rt△AA1B1中,AB15,同理可得AQ
∵等腰Rt△A1B1C1中,B1Q是斜边的中线
∴B1QA1B1=2
,
△B1AQ中,cos∠B1AQ0
∴∠B1AQ=arccos,即异面直线AB1与C1N所成的角等于arccos
;
(2)平面A1B1C1中,过M作MH⊥A1C1于H
∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面A1B1C1,CC1平面AA1C1C
∴平面AA1C1C⊥平面A1B1C1,
∵平面AA1C1C⊥平面A1B1C1=A1C1,MH⊥A1C1,
∴MH⊥平面AA1C1C,MH是三棱锥M﹣C1CN的高线
∵△B1C1Q中,M是B1C1中点,MH∥B1Q
∴MH是△B1C1Q的中位线,得MH
∵△C1CN的面积SCN×C1C
2
3=3
∴三棱锥M﹣C1CN的体积3
2
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【题目】几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A. 440B. 330
C. 220D. 110
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【题目】新高考最大的特点就是取消文理分科,除语文、数学、外语之外,从物理、化学、生物、政治、历史、地理这6科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全文(选择政治、历史、地理)的选择是否与性别有关,从某学校高一年级的1000名学生中随机抽取男生,女生各25人进行模拟选科.经统计,选择全文的人数比不选全文的人数少10人.
(1)估计在男生中,选择全文的概率.
(2)请完成下面的列联表;并估计有多大把握认为选择全文与性别有关,并说明理由;
选择全文 | 不选择全文 | 合计 | |
男生 | 5 | ||
女生 | |||
合计 |
附:,其中
.
P( | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图,在路边安装路灯:路宽米,灯杆长
米,且与灯柱
成120°角,路灯采用锥形灯罩,灯罩轴线
与灯杆垂直且正好通过道路路面的中线.
(1)求灯柱高的长度(精确到0.01米);
(2)若该路灯投射出的光成一个圆锥体,该圆锥体母线与轴线的夹角是30°,写出路灯在路面上投射出的截面图形的边界是什么曲线?写出其相应的几何量(精确到0.01米).
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【题目】下列说法中正确的是( )
A. “”是“
”成立的充分不必要条件
B. 命题,则
C. 为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为40
D. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为,则回归直线方程为
.
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【题目】已知函数(
),数列
满足
,
,数列
满足
.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)设数列满足
(
),且
中任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,求
的取值范围;
(3)设数列满足
(
),求
的前
项和
.
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【题目】某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划,收集了近个月广告投入量
(单位:万元)和收益
(单位:万元)的数据如下表:
月份 | ||||||
广告投入量 | ||||||
收益 |
他们分别用两种模型①,②
分别进行拟合,得到相应的回归方程并进行残差分析,得到如图所示的残差图及一些统计量的值:
(Ⅰ)根据残差图,比较模型①,②的拟合效果,应选择哪个模型?并说明理由;
(Ⅱ)残差绝对值大于的数据被认为是异常数据,需要剔除:
(ⅰ)剔除异常数据后求出(Ⅰ)中所选模型的回归方程
(ⅱ)若广告投入量时,该模型收益的预报值是多少?
附:对于一组数据,
,……,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.
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