【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为边长为2的菱形,∠DAB=60°,∠ADP=90°,面ADP⊥面ABCD,点F为棱PD的中点.
(1)在棱AB上是否存在一点E,使得AF∥面PCE,并说明理由;
(2)当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时,求直线PB与平面ABCD所成的角.
【答案】(1)见解析;(2)45°
【解析】
(1)点E为棱AB的中点取PC的中点Q,连结EQ、FQ,推导出四边形AEQF为平行四边形,从而AF∥EQ,由此能证明AF∥平面PEC.(2)推导出ED⊥CD,PD⊥AD,且从而PD⊥面ABCD,故以D为坐标原点建立空间坐标系,利用向量法能求出直线PB与平面ABCD所成的角.
(1)在棱AB上存在点E,使得AF∥面PCE,点E为棱AB的中点.
理由如下:取PC的中点Q,连结EQ、FQ,由题意,FQ∥DC且,AE∥CD且,
故AE∥FQ且AE=FQ.所以,四边形AEQF为平行四边形.所以,AF∥EQ,又EQ平面PEC,AF平面PEC,
所以,AF∥平面PEC.
(2)由题意知△ABD为正三角形,所以ED⊥AB,亦即ED⊥CD,又∠ADP=90°,
所以PD⊥AD,且面ADP⊥面ABCD,面ADP∩面ABCD=AD,
所以PD⊥面ABCD,故以D为坐标原点建立如图空间坐标系,
设FD=a,则由题意知D(0,0,0),F(0,0,a),C(0,2,0),,
,,设平面FBC的法向量为,
则由得,令x=1,则,,
所以取,显然可取平面DFC的法向量,
由题意:,所以a=1.
由于PD⊥面ABCD,所以PB在平面ABCD内的射影为BD,
所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角,
易知在Rt△PBD中,从而∠PBD=45°,
所以直线PB与平面ABCD所成的角为45°.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设,是两条不同的直线,,,是三个不同的平面.有下列四个命题:
①若,,,则;
②若,,则;
③若,,,则;
④若,,,则.
其中正确命题的序号是( )
A.①③B.①④C.②③④D.②③
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点为,其上一点在准线上的射影为,△恰为一个边长为4的等边三角形.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过定点的直线交抛物线于,两点,为坐标原点)的面积为,求直线的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为,直线,直线 .以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求直线,的直角坐标方程以及曲线的参数方程;
(2)已知直线与曲线交于两点,直线与曲线交于两点,求的面积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列有关命题的说法正确的是__________________.
①命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为:若x≠1,则x2-3x+2≠0
②x=1是x2-3x+2=0的充分不必要条件
③若p∧q为假命题,则p,q均为假命题
④对于命题p:x∈R,使得x2+x+1<0,则非p:x∈R, 均有x2+x+1≥0
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知三棱锥A-BPC中,,M为AB的中点,D为PB的中点,且为正三角形.
(1)求证:平面APC;
(2)若,,求三棱锥D-BCM的体积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定点,动点P是圆M:上的任意一点,线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q.
求的值,并求动点Q的轨迹C的方程;
若圆的切线l与曲线C相交于A,B两点,求面积的最大值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com