Question

【题目】如图，已知三棱锥A-BPC中，，M为AB的中点，D为PB的中点，且为正三角形.

（1）求证：平面APC；

（2）若，，求三棱锥D-BCM的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）因为M为AB的中点，D为PB的中点，由中位线定理可得，再由线面平行的判定定理即可证明；

（2）根据题意得到平面BCD的距离为的长，由三棱锥D-BCM的体积即为三棱锥M-BCD的体积，由题设条件求出的长，及三角形BCD的面积，由椎体体积公式代入数据求解即可.

（1）证明：因为M为AB的中点，D为PB的中点，

所以MD是的中位线，.

又平面APC，平面APC，

所以平面APC.

（2）在等边三角形PMB中，D为PB的中点，

，，

又，平面PBC，，

平面PBC，平面PBC，

平面PBC，，

又，平面PAC，，

平面PAC，平面PBC，.

平面PBC，即MD是三棱锥M-DBC的高.

又因为，M为AB的中点，为正三角形，

所以，，

由平面APC，可得，

在直角三角形PCB中，由，可得.

于是,

所以.