Question

【题目】已知定点，动点P是圆M：上的任意一点，线段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q．

求的值，并求动点Q的轨迹C的方程；

若圆的切线l与曲线C相交于A，B两点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3

【解析】

推导出为定值根据椭圆定义得动点Q的轨迹是以点M、N为焦点的椭圆且，即，，，由此能求出点Q的轨迹C的方程．

设切线方程为，由直线与圆相切，得由，得：，利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出的面积最大值．

解：由已知条件得，又，为定值．

根据椭圆定义得动点Q的轨迹是以点M、N为焦点的椭圆．

且，即，，，

点Q的轨迹C的方程为：．

直线l不可能与x轴平行，则可设切线方程为，

由直线与圆相切，得，

设，，

由，消去x得：，

，

，．

，

当且仅当，即时等号成立．

此时，，又，

，时，的面积最大，最大值为3．