Question

15．已知△ABC是边长为4的等边三角形，D、P是△ABC内部两点，且满足$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{8}\overrightarrow{BC}$，则△ADP的面积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为4，可得B，C的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AP}$，利用△APD的面积公式即可得出．

解答 解：以A为原点，以BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．
∵等边三角形△的边长为4，
∴B（-2，-2$\sqrt{3}$），C（2，-2$\sqrt{3}$），
由足$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{4}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{4}$[（-2，-2$\sqrt{3}$）+（2，-2$\sqrt{3}$）]=（0，-$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{8}\overrightarrow{BC}$=（0，-$\sqrt{3}$）+$\frac{1}{8}$（4，0）=（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），
∴△ADP的面积为S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AD}$|•|$\overrightarrow{DP}$|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故选：A．

点评 本题考查了向量的坐标运算和数乘运算、三角形的面积计算公式，属于中档题．