Question

10．已知函数f（x）=x+xlnx，若m∈Z，且f（x）-m（x-1）＞0对任意的x＞1恒成立，则m的最大值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 问题转化为对任意x∈（1，+∞），m＜$\frac{x•lnx+x}{x-1}$恒成立，求正整数m的值．设函数h（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，求其导函数，得到其导函数的零点x₀位于（3，4）内，且知此零点为函数h（x）的最小值点，经求解知h（x₀）=x₀，从而得到m＜x₀，则正整数m的最大值可求．．

解答 解：因为f（x）=x+xlnx，所以f（x）-m（x-1）＞0对任意x＞1恒成立，
即m（x-1）＜x+xlnx，
因为x＞1，
也就是m＜$\frac{x•lnx+x}{x-1}$对任意x＞1恒成立．
令h（x）=$\frac{x•lnx+x}{x-1}$，
则h′（x）=$\frac{x-lnx-2}{{（x-1）}^{2}}$，
令φ（x）=x-lnx-2（x＞1），
则φ′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0，
所以函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为φ（3）=1-ln3＜0，φ（4）=2-2ln2＞0，
所以方程φ（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，φ（x）＜0，
即h′（x）＜0，当x＞x₀时，φ（x）＞0，即h′（x）＞0，
所以函数h（x）在（1，x₀）上单调递减，
在（x₀，+∞）上单调递增．
所以[h（x）]min=h（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1{+x}_{0}-2）}{{x}_{0}-1}$=x₀∈（3，4）．
所以m＜[g（x）]_min=x₀，
因为x₀∈（3，4），
故整数m的最大值是3，
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调区间，考查了数学转化思想，解答此题的关键是，如何求解函数h（x）的最小值，学生思考起来有一定难度．