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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，长轴长是2
    		2
    ，离心率是
    		2
    2
    ．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）过椭圆右焦点F2的直线与椭圆相交于A，B两点，在x轴上是否存在定点C，使
    CA
    •
    CB
    为常数？若存在，求出定点C的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）根据长轴长是2
    		2
    ，离心率是
    		2
    2
    ，可确定几何量，从而可求椭圆的方程；
    （2）分类讨论：当AB不与x轴垂直时，设过点F2的直线AB方程与椭圆方程联立，可得
    CA
    •
    CB
    =m2-2m+
    1
    2
    +
    2m-
    5
    2
    2k2+1
    ，要使
    CA
    •
    CB
    为常数，则2m-
    5
    2
    =0    ，从而可得m=
    5
    4
    ，
    CA
    •
    CB
    =-
    7
    16
    ；当AB与x轴垂直时，同样可得在x轴上存在定点C(
    5
    4
    ，0)    ，使
    CA
    •
    CB
    为常数-
    7
    16
    ．
    解答：解：（1）∵长轴长是2
    		2
    ，离心率是
    		2
    2
    ．
    ∴a=
    		2
    ，
    c
    a
    =
    		2
    2

    ∴c=1，∴b=1
    ∴椭圆的方程为
    x2
    2
    +y2=1    ；
    （2）当AB不与x轴垂直时，设过点F2的直线AB方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），C（m，0）
    由
    y=k(x-1)
    x2
    2
    +y2=1
    ，消去y得：（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0
    ∴x1+x2=
    4k2
    2k2+1
    ，x1x2=
    2k2-2
    2k2+1

    ∴
    CA
    •
    CB
    =(k2+1)x1x2-(k2+m)(x1+x2)+k2+m2=m2-2m+
    1
    2
    +
    2m-
    5
    2
    2k2+1

    要使
    CA
    •
    CB
    为常数，则2m-
    5
    2
    =0    ，∴m=
    5
    4
    ．此时
    CA
    •
    CB
    =-
    7
    16

    当AB与x轴垂直时，点A，B的坐标分别是(1，
    		2
    2
    )    ，(1，-
    		2
    2
    )
    ∴
    CA
    •
    CB
    =(1-
    5
    4
    ，
    		2
    2
    )•(1-
    5
    4
    ，-
    		2
    2
    )    =-
    7
    16

    综上知，在x轴上存在定点C(
    5
    4
    ，0)    ，使
    CA
    •
    CB
    为常数-
    7
    16
    ．
    点评：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是直线与椭圆联立方程组，借助于韦达定理及向量的数量积公式进行求解．
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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
    1
    2

    （Ⅰ）求椭圆的标准方程，
    （Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
    PF1
    •
    PA
    的取值范围
    （III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
    AH
    2    =
    MH
    •
    HN
    ，求证：直线l恒过定点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
    （1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
    （2）求k1：k2的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率是
    		3
    2
    ，且经过点M（2，1），直线y=
    1
    2
    x+m(m＜0)    与椭圆相交于A，B两点．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）当m=-1时，求△MAB的面积；
    （3）求△MAB的内心的横坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•威海二模）已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为e=
    		6
    3
    ，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
    2
    		6
    3
    +2    ．
    （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
    ND
    •
    MP
    AB
    2
    为定值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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