Question

10．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是A₁B₁，BB₁的中点，求异面直线AM与BD所成角的大小．

Answer 1

分析 根据条件建立空间直角坐标系，设出正方体的边长为1，然后可求出点A，M，B，D的坐标，从而求得向量$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{BD}$的坐标，根据向量夹角余弦的坐标公式求出这两向量的夹角，根据异面直线所成角的范围，从而得出异面直线AM，BD所成角的大小．

解答 解：如图，以D₁为坐标原点，分别以边D₁A₁，D₁C₁，D₁D所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系；
设正方体的边长为1，则得到以下几点坐标：
A（1，0，1），M（$1，\frac{1}{2}，0$），D（0，0，1），B（1，1，1）；
∴$\overrightarrow{AM}$=（$0，\frac{1}{2}，-1$），$\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$；
∴$cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{DB}＞$=$\frac{\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
∴AM与BD所成角为arccos$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 考查通过建立空间直角坐标，运用空间向量求异面直线所成角的方法，由点的坐标求空间向量的坐标，空间两向量夹角余弦的坐标公式．