Question

19．已知函数f（x）=asin（$\frac{π}{4}$x）（a＞0）在同一半周期内的图象过点O，P，Q，其中O为坐标原点，P为函数f（x）的最高点，Q为函数f（x）的图象与x轴的正半轴的交点，△OPQ为等腰直角三角形．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）将△OPQ绕原点O按逆时针方向旋转角α（0＜α＜$\frac{π}{4}$），得到△OP′Q′，若点P′恰好落在曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上（如图所示），试判断点Q′是否也落在曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0），并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用周期公式可求最小正周期T=8，由题意可求 Q坐标为（4，0）．P坐标为（2，a），结合△OPQ为等腰直角三角形，即可得解a=$\frac{|OQ|}{2}$的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，|OP|=2$\sqrt{2}$，|OQ|=4，可求点P′，Q′的坐标，由点P′在曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上，利用倍角公式，诱导公式可求cos2$α=\frac{3}{4}$，又结合0＜α＜$\frac{π}{2}$，可求sin2α的值，由于4cosα•4sinα=8sin2α=2$\sqrt{7}$≠3，即可证明点Q′不落在曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为函数f（x）=asin（$\frac{π}{4}$x）（a＞0）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8，
所以函数f（x）的半周期为4，
所以|OQ|=4．即有 Q坐标为（4，0）．
又因为P为函数f（x）图象的最高点，
所以点P坐标为（2，a），
 又因为△OPQ为等腰直角三角形，
所以a=$\frac{|OQ|}{2}$=2．
（Ⅱ）点Q′不落在曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上．理由如下：由（Ⅰ）知，|OP|=2$\sqrt{2}$，|OQ|=4，
所以点P′，Q′的坐标分别为（2$\sqrt{2}$cos（$α+\frac{π}{4}$），2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）），（4cosα，4sinα），
因为点P′在曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上，
所以3=8cos（$α+\frac{π}{4}$）sin（$α+\frac{π}{4}$）=4sin（2$α+\frac{π}{2}$）=4cos2α，即cos2$α=\frac{3}{4}$，
又0＜α＜$\frac{π}{2}$，
所以sin2α=$\frac{\sqrt{7}}{4}$． 
又4cosα•4sinα=8sin2α=8×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=2$\sqrt{7}$≠3．
所以点Q′不落在曲线y=$\frac{3}{x}$（x＞0）上．

点评 本题主要考查了三角函数周期公式，倍角公式，诱导公式，正弦函数的图象和性质以及解三角形的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．