Question

18．已知定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）单调递增，若不等式f（-4t）＞f（2mt²+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）
• B． （-$\sqrt{2}$，0）
• C． （-∞，0）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根据题意，由函数的奇偶性以及在[0，+∞）上的单调性分析可得f（x）在（-∞，+∞）上也是增函数，则不等式f（-4t）＞f（2mt²+m）对任意实数t恒成立可以转化为2mt²+4t+m＜0对任意实数t恒成立，由二次函数的性质分析可得$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{16-4•2m•m＜0}\end{array}\right.$，解可得m的取值范围，即可得答案．

解答 解：根据题意，f（x）是奇函数且在[0，+∞）上单调递增，
则f（x）在（-∞，+∞）上也是增函数，
则不等式f（-4t）＞f（2mt²+m）对任意实数t恒成立⇒-4t＞2mt²+m对任意实数t恒成立，
即2mt²+4t+m＜0对任意实数t恒成立，
分析可得$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{16-4•2m•m＜0}\end{array}\right.$，
解可得m＜-$\sqrt{2}$，
即m的取值范围是（-∞，-$\sqrt{2}$），
故选：A．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是将不等式转化为t与m之间的关系．