Question

15．汽车是碳排放量比较大的行业之一，欧盟规定，从2012年开始，将对CO₂排放量超过130g/km的不达标M1型新车进行惩罚，某检测单位对甲、乙两类M1型品牌车各抽取5辆进行CO₂排放量检测，记录如表（单位：g/km）：

甲	80	110	135	135	140
乙	100	x	y	125	155

经测算发现，两种品牌车CO₂排放量的平均值相等，
（1）求x与y的函数关系式，并求出当x，y分别为何值时，乙品牌汽车CO₂排放量的稳定性最好？
（2）在（1）的条件下，为了跟踪检测两种品牌汽车的质量稳定性，将在两种品牌汽车中各抽取2辆车进行长期跟踪监测，设抽取的4辆车中CO₂排放量不达标的数量为X，求X的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析 （1）由平均数═120求x，再求方差比较可得稳定性；
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答 解：（1）∵由$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{80+110+135+135+140}{5}$=120，
∴$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{100+x+y+125+155}{5}$=120，可得：y=220-x，
∴S²_甲=$\frac{1}{5}$[（80-120）²+（110-120）²+（135-120）²+（135-120）²+（140-120）²]=310；
S²_乙=$\frac{1}{5}$[（100-120）²+（x-120）²+（y-120）²+（125-120）²+（155-120）²]=330+$\frac{2[（x-110）^{2}+100]}{5}$；
∴当x=110，y=110时，乙品牌汽车CO₂排放量的稳定性最好．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{50}$
P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{1}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{11}{50}$
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$+$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{21}{50}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}×\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{6}{50}$；
则X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{3}{50}$	$\frac{20}{50}$	$\frac{21}{50}$	$\frac{6}{50}$

E（X）=0×$\frac{3}{50}$+1×$\frac{20}{50}$+2×$\frac{21}{50}$+3×$\frac{6}{50}$=$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了数据的分析与应用，同时考查了古典概型在实际问题中的应用，属于中档题．