Question

1．已知$f（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$．
（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）设f（x）的定义域为D，a，b∈D．求$f（a）+f（b）-f（\frac{a+b}{1+ab}）$的值．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；
（2）根据$f（x）=lg\frac{1-x}{1+x}$，结合对数的运算性质，可得$f（a）+f（b）-f（\frac{a+b}{1+ab}）$的值．

解答 解：（1）由$\frac{1-x}{1+x}＞0$得：
x∈（-1，1），
∴f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，
又由$f（{-x}）+f（x）=lg\frac{1+x}{1-x}+lg\frac{1-x}{1+x}=lg1=0$，
∴f（x）是奇函数           （6分）
（2）$f（a）+f（b）-f（{\frac{a+b}{1+ab}}）=lg\frac{1-a}{1+a}+lg\frac{1-b}{1+b}-lg\frac{{1-\frac{a+b}{1+ab}}}{{1+\frac{a+b}{1+ab}}}$
=$lg\frac{{（{1-a}）}}{{（{1+a}）}}•\frac{{（{1-b}）}}{{（{1+b}）}}-lg\frac{1+ab-a-b}{1+ab+a+b}$
=$lg\frac{1+ab-a-b}{1+ab+a+b}-lg\frac{1+ab-a-b}{1+ab+a+b}=0$（12分）

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．