Question

【题目】已知函数（e为自然对数的底数），其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数的两个极值点为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先求出，再对分类讨论即得函数的单调性；

（2）求出，，转化成证明成立，设，，则，转化成证明成立，设，则，构造函数，，证明，即成立，原题得证.

解：（1）的定义域，，，

方程，判别式，

当时，，恒成立，

所以恒成立，函数在和上单调递增.

当时，，令，得，，

因为，所以.

所以当或或时，，

当时，，

所以在和和是增函数，在是减函数.

综上所述：当时，函数在和上单调递增；

当时，函数在和和单调递增，在单调递减.

（2）由（1）可知，当时函数存在两个极值点，且是方程的两根，所以，且.

，，

所以，

，

所以，

又，

所以，要证成立，

即证成立，

因为且，所以

即证成立，

设，，则，

只要证成立，

即证成立.

设，则，构造函数，

则，所以在上单调递增，

，即成立，

从而成立.