Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程及直线在轴正半轴及轴正半轴截距相等时的直角坐标方程；

（2）若，设直线与曲线交于不同的两点、，点，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）将曲线的极坐标方程化为，由此可得出曲线的直角坐标方程，根据题意可求得直线的斜率，进而可求得直线的直角坐标方程；

（2）将代入直线的参数方程，再将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立，设点、对应的参数分别为、，列出韦达定理，结合的几何意义可求得的值.

（1）由得，所以，

由，，得曲线的直角坐标方程为.

当直线在轴正半轴及轴正半轴截距相等时，，

由得，所以，

即此时直线的直角坐标方程为；

（2）当时，直线的参数方程为（为参数）,

设点、对应的参数分别为、，

将直线的参数方程代入，得，整理得，

由韦达定理得，，

故.