Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A₁、A₂、B是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于椭圆顶点的P、Q两点，且l∥A₂B．若此椭圆的离心率为

3

2

，且|A2B|=

5

（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线A₁P和直线BQ的倾斜角分别为α、β，试判断α+β是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆的离心率求得a和c的关系，利用勾股定理求得a和b的关系式，最后联立求得a和b，则椭圆的方程可得．
（II）由（I）可值A₂（2，0），B（0，1），利用l∥A₂B，求得直线l的斜率，设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁+x₂，然后分别表示出tanα和tanβ，令二者相加，化简整理求得结果为0，进而可利用正切的两角和公式求得tan（α+β）=0，判断出α+β=π是定值．

解答：解：（I）由已知可得

c a = 3 2 a2+b2=5

，求得a=2，b=1
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1
（II）α+β是定值π．
由（I）A₂（2，0），B（0，1），且l∥A₂B，所以直线l的斜率k=-

1

2

，
设直线l的方程为y=-

1

2

x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

x2 4 +y2=1 y=- 1 2 x+m

，x²-2mx+2m²-2=0
∴△=4m²-4（2m²-2）=8-4m²≥0，即-

2

≤m≤

2

x1+x2=2m x1x2=2m2-2

∵P、Q两点不是椭圆的顶点∴α≠

π

2

、β≠

π

2

∴tanα=kA1P=

y1

x1+2

，tanβ=kBQ=

y2-1

x2

又因为y1=-

1

2

x1+m，y2=-

1

2

x2+mtanα+tanβ=

y1

x1+2

+

y2-1

x2

=

x2y1+(x1+2)(y2-1)

(x1+2)x2

=

x2y1+x1y2+2y2-x1-2

(x1+2)x2

=

x2(- 1 2 x1+m)+x1(- 1 2 x2+m)+2(- 1 2 x2+m)-x1-2

(x1+2)x2

=

(m-1)(x1+x2)-x1x2+2m-2

(x1+2)x2

=

(m-1)2m-(2m2-2)+2m-2

(x1+2)x2

=0
∴tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=0，又α，β∈（0，π）
∴α+β∈（0，2π）∴α+β=π是定值

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力．