Question

4．若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ-1，则数列{a_n²}的前n项和T_n为$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

Answer 1

分析 由S_n=2ⁿ-1，当n=1时，a₁=1，当n≥2时，S_n-1=2^n-1-1，两式相减可知a_n=2^n-1，根据等差数列的性质，利用等比数列前n项和公式，即可求得数列{a_n²}的前n项和T_n．

解答 解：由S_n=2ⁿ-1，当n=1时，a₁=1，
当n≥2时，S_n-1=2^n-1-1，
两式相减得：a_n=2^n-1，
当n=1时成立，
∴数列{a_n}通项公式：a_n=2^n-1，
∴数列{a_n}为首项为1，2为公比的等比数列，
∴数列{a_n²}为首项为1，4为公比的等比数列，
数列{a_n²}的前n项和T_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$，
故答案为：$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．

点评 本题考查等比数列通项公式及前n项和公式，等比数列性质，属于基础题．