Question

已知函数f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函数，当x=1时f（x）取得极值-2，
（1）求f（x）的单调区间和极大值；
（2）证明对任意x₁，x₂∈（-1，1），不等式| f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立。

Answer 1

解：（1）由奇函数的定义，应有，x∈R，
即，
∴d=0，
因此，，
由条件f（1）=-2为f（x）的极值，必有f′（1）=0，
故，解得a=1，c=-3，
因此，，，
当时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间上是增函数；
当时，f′（x）＜0，故f（x）在单调区间（-1，1）上是减函数；
当时，f′（x）＞0，故f（x）在单调区间上是增函数；
所以，f（x）在x=-1处取得极大值，极大值为f（-1）=2。
（2）由（1）知，是减函数，
且 f（x）在[-1，1]上的最大值M=f（-1）=2，f（x）在[-1，1]上的最小值m=f（1）=-2，
所以，对任意的，
恒有。