Question

9．已知α，β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），tanα，tanβ是二次方程x²+$\sqrt{2017}$x+1+$\sqrt{2017}$=0的两实根，则α+β=-$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 利用韦达定理求得tan（α+β）的值，再根据α+β的范围，求得α+β的值．

解答 解：∵α，β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），tanα，tanβ是二次方程x²+$\sqrt{2017}$x+1+$\sqrt{2017}$=0的两实根，
∴tanα+tanβ=-$\sqrt{2017}$，tanα•tanβ=$\sqrt{2017}$+1，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{-\sqrt{2017}}{1-（\sqrt{2017}+1）}$=1，
结合α+β∈（-π，π），∴α+β=$\frac{π}{4}$，或α+β=-$\frac{3π}{4}$，
当α+β=$\frac{π}{4}$时，不满足tanα+tanβ=-$\sqrt{2017}$，故舍去，检验α+β=-$\frac{3π}{4}$，满足条件．
综上可得，α+β=-$\frac{3π}{4}$，
故答案为：-$\frac{3π}{4}$．

点评 本题主要考查韦达定理，根据三角函数的值求角，属于基础题．