Question

5．（1）化简$\frac{{\sqrt{1-2sin{{70}^0}cos{{70}^0}}}}{{cos{{70}^0}-\sqrt{1-{{cos}^2}{{70}^0}}}}$；
（2）证明：$\frac{tanxsinx}{tanx-sinx}=\frac{1+cosx}{sinx}$．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数关系式，1=sin²70°+cos²70°进行化简即可．
（2）“切化弦”思想，利用同角三角函数关系式化简即可．

解答 解：（1）∵1=sin²70°+cos²70°，sin70°＞cos70°，
∴$\frac{{\sqrt{1-2sin{{70}^0}cos{{70}^0}}}}{{cos{{70}^0}-\sqrt{1-{{cos}^2}{{70}^0}}}}$=$\frac{\sqrt{si{n}^{2}70°-2sin70°cos70°+co{s}^{2}70°}}{cos70°-sin70°}$=$\frac{\sqrt{（sin70°-cos70°）^{2}}}{cos70°-sin70°}$=$\frac{sin70°-cos70°}{cos70°-sin70°}=-1$
（2）∵$tanx=\frac{sinx}{cosx}$
那么：$\frac{tnxsinx}{tanx-sinx}=\frac{\frac{sinx}{cosx}•sinx}{\frac{sinx}{cosx}-sinx}$=$\frac{si{n}^{2}x}{sinx-sinxcosx}=\frac{1-co{s}^{2}x}{sinx（1-cosx）}=\frac{（1+cosx）（1-cosx）}{sinx（1-cosx）}$=$\frac{1+cosx}{sinx}$
左边=右边．
得证．

点评 本题考查了同角三角函数关系式“1”的利用以及“切化弦”的思想．属于基础题．