Question

已知数列{a_n}的各项均为正实数，且其前n项和S_n满足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n}是等差数列；
（2）设b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于满足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．可得当n=1时，2a1=

a

2 1

+a1，解得a₁．当n≥2时，利用2a_n=2S_n-2S_n-1即可得出（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
由于数列{a_n}的各项均为正实数，可得a_n-a_n-1=1，即可证明数列{a_n}是等差数列．
（2）由（1）可得a_n=1+（n-1）=n．b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂项求和”即可得出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：∵满足2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*）．
∴当n=1时，2a1=

a

2 1

+a1，解得a₁=1．
当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=

a

2 n

+an-(

a

2 n-1

+an-1)，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正实数，∴a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1．
（2）解：由（1）可得a_n=1+（n-1）=n．
b_n=

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列的定义与通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．