Question

11．已知幂函数f（x）=x${\;}^{（{m}^{2}+m）^{-1}}$（m∈N₊）经过点（2，$\sqrt{2}$），试确定m的值，并满足条件f（2-a）＞f（a-1）的实数a的取值范围$[1，\frac{3}{2}）$．

Answer 1

分析 将点（2，$\sqrt{2}$）代入解析式列出方程，结合条件求出m的值，由幂函数的性质判断f（x）在定义域上的单调性，利用定义域、单调性转化不等式，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：∵幂函数f（x）=x${\;}^{（{m}^{2}+m）^{-1}}$（m∈N₊）经过点（2，$\sqrt{2}$），
∴2${\;}^{（{m}^{2}+m）^{-1}}$=$\sqrt{2}$=${2}^{\frac{1}{2}}$，即$\frac{1}{{m}^{2}+m}=\frac{1}{2}$，
解得m=1或m=-2（舍去），
∴f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{x}$，则f（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴由f（2-a）＞f（a-1）得，$\left\{\begin{array}{l}{2-a＞a-1}\\{a-1≥0}\end{array}\right.$，
解得$1≤a＜\frac{3}{2}$，
∴实数a的取值范围是$[1，\frac{3}{2}）$，
故答案为：$[1，\frac{3}{2}）$．

点评 本题考查了待定系数法求幂函数的解析式，幂函数的定义域、单调性的应用，注意函数的定义域．