Question

20．设点P为函数f（x）=$\frac{1}{2}$（x³-$\frac{1}{x}}$）图象上任一点，且f（x）在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为$[{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$．

Answer 1

分析 利用函数的导数，求出导函数，通过导函数值的范围，求解倾斜角的范围．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{2}$（x³-$\frac{1}{x}}$），
∴f′（x）=$\frac{1}{2}$（3x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）≥$\sqrt{3}$，
点P为函数f（x）=$\frac{1}{2}$（x³-$\frac{1}{x}}$）图象上任一点，则过点P的切线的斜率的范围：k≥$\sqrt{3}$．
过点P的切线的倾斜角为α，tanα≥$\sqrt{3}$．
过点P的切线的倾斜角取值范围：$[{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$．
故答案为$[{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$．

点评 本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，函数的导数的应用，考查计算能力．