Question

8．如图，BC是圆O的直径，点F在弧$\widehat{BC}$上，点A为弧$\widehat{BF}$的中点，作AD⊥BC于点D，BF与AD交于点E，BF与AC交于点G．
（1）证明：AE=BE；
（2）若AG=9，GC=7，求圆O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接AB，由点A为弧$\widehat{BF}$的中点，可得∠ABF=∠ACB，由BC是圆O的直径，则∠BAD=∠ACB，即∠ABF=∠BAD，即可求证AE=BE；
（2）由（1）可知：△ABG∽△ACB，AB²=AG•AC=9×16，RT△ABC中，由勾股定理知BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$，即可求得圆O的半径．

解答 解：（1）证明：连接AB，由点A为弧$\widehat{BF}$的中点，
故$\widehat{BA}$=$\widehat{AF}$，
∴∠ABF=∠ACB，
又∵AD⊥BC，BC是圆O的直径，
∴∠BAD=∠ACB，
∴∠ABF=∠BAD，
∴AE=BE；
（2）由（1）可知：△ABG∽△ACB，
∴AB²=AG•AC=9×16，
AB=12，
RT△ABC中，由勾股定理知BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=20，
∴圆的半径为10．

点评 本题考查圆的直径的性质，考查三角形相似的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．