Question

11．一块边长为8cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O为底面ABCD的中心，E为棱SA的中点，则DE与SC所成角的正切值为$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．

Answer 1

分析 以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出DE与SC所成角的正切值．

解答 解由已知得正四棱锥S-ABCD中，底面正方形ABCD的边长为6，△SAB的高h=4，
SO=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（3$\sqrt{2}$，0，0），S（0，0，$\sqrt{7}$），E（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{7}}{2}$），D（0，-3$\sqrt{2}$，0），C（-3$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，3$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$），$\overrightarrow{SC}$=（-3$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{7}$），
设DE与SC所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{SC}|}{|\overrightarrow{DE}|•|\overrightarrow{SC}|}$=$\frac{|\frac{25}{2}|}{\sqrt{\frac{97}{4}}•\sqrt{25}}$=$\frac{5}{\sqrt{97}}$，
sinθ=$\sqrt{1-\frac{25}{97}}$=$\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{97}}$，tanθ=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．
∴DE与SC所成角的正切值为$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．
故答案为：$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．