Question

5．已知等差数列{a_n}，a₂+a₃+a₄=15，a_n＞0，且a₂，a₃+4，a₄+20为等比数列{b_n}的前三项，
（1）求{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）设数列d_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$的前n项和为T_n，求T_n．
（3）若数列c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质和等比数列的通项公式，解方程即可得到所求；
（2）求出d_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，运用裂项相消求和，化简即可得到所求和；
（3）求得c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，运用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
a₂+a₃+a₄=15，可得3a₁+6d=15，①
a₂，a₃+4，a₄+20为等比数列{b_n}的前三项，
可得（a₃+4）²=a₂（a₄+20），
检验（a₁+2d+4）²=（a₁+d）（a₁+3d+20），②
由①②解得a₁=1，d=2，
可得a_n=2n-1，
等比数列{b_n}的前三项为3，9，27，
可得公比为3，
即有b_n=3ⁿ；
（2）数列d_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$，
的前n项和为T_n=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$=1-$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{2n}{2n+1}$；
（3）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，
可得前n项和S_n=1•3+3•3²+…+（2n-1）•3ⁿ，
3S_n=1•3²+3•3³+…+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-2S_n=3+2（3²+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
化简可得S_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和和错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．