Question

17．已知向量$\overrightarrow m=（sinx，-1）$，向量$\overrightarrow n=（\sqrt{3}cosx，-\frac{1}{2}）$，函数$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m$．
（1）求f（x）的解析式及单调增区间；
（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=2$\sqrt{3}$，c=4，且f（A）恰是f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值，求A，b和△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积运算结合降幂公式及辅助角公式即可求得f（x）的解析，再由复合函数的单调性求得函数的单调区间；
（2）求出f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值，得到A的值，利用正弦定理求得C，进一步得到B，再由面积公式求得△ABC的面积．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（sinx，-1）$，$\overrightarrow n=（\sqrt{3}cosx，-\frac{1}{2}）$，
∴函数$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m$=（sinx+$\sqrt{3}cosx$，$-\frac{3}{2}$）•（sinx，-1）
=sinx（sinx+$\sqrt{3}cosx$）+$\frac{3}{2}$=$si{n}^{2}x+\sqrt{3}sinxcosx+\frac{3}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+2$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的单调增区间为[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]；
（2）∵x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$，∴2x$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
则f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值为3．
即f（A）=3，∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）+2=3，2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，得A=$\frac{π}{3}$．
又a=2$\sqrt{3}$，c=4，
∴由$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}=\frac{4}{sinC}$，得sinC=1，∴C=$\frac{π}{2}$．
则B=$π-\frac{π}{2}-\frac{π}{3}=\frac{π}{6}$．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×4×\frac{1}{2}=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角函数的图象和性质，考查三角形的解法，是中档题．