Question

14．设数列{a_n}，{b_n}，{c_n}，已知${a_1}=4，{b_1}=3，{c_1}=5，{a_{n+1}}={a_n}，{b_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{c_n}}}{2}$，${c_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{b_n}}}{2}（{n∈{N^*}}）$．
（1）求b₂，c₂，b₃，c₃；
（2）求数列{c_n-b_n}的通项公式；
（3）求证：对任意n∈N^*，b_n+c_n为定值．

Answer 1

分析 （1）直接由已知可得b₂，c₂，b₃，c₃的值；
（2）由a_n+1=a_n，a₁=4，得${a_n}=4（{n∈{N^*}}）$，然后分别求出b_n+1，c_n+1，可得${c_{n+1}}-{b_{n+1}}=\frac{1}{2}（{{b_n}-{c_n}}）=-\frac{1}{2}（{{c_n}-{b_n}}）$，即数列{c_n-b_n}是首项为2，公比为$-\frac{1}{2}$的等比数列，由等比数列的通项公式可得数列{c_n-b_n}的通项公式；
（3）由（2）知，${b_{n+1}}+{c_{n+1}}=\frac{1}{2}（{{b_n}+{c_n}}）+4$，即${b_{n+1}}+{c_{n+1}}-8=\frac{{{b_n}+{c_n}}}{2}-4=\frac{1}{2}（{{b_n}+{c_n}-8}）$，结合b₁+c₁-8=0，可得b_n+c_n-8=0恒成立，即b_n+c_n为定值8．

解答 （1）解：由已知可得${b_2}=\frac{9}{2}，{c_2}=\frac{7}{2}，{b_3}=\frac{15}{4}，{c_3}=\frac{17}{4}$；
（2）解：∵a_n+1=a_n，a₁=4，∴${a_n}=4（{n∈{N^*}}）$，
∴${b_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{c_n}}}{2}=\frac{{4+{c_n}}}{2}=\frac{c_n}{2}+2，{c_{n+1}}=\frac{{{a_n}+{b_n}}}{2}=\frac{b_n}{2}+2$，
则${c_{n+1}}-{b_{n+1}}=\frac{1}{2}（{{b_n}-{c_n}}）=-\frac{1}{2}（{{c_n}-{b_n}}）$，
即数列{c_n-b_n}是首项为2，公比为$-\frac{1}{2}$的等比数列，
∴${c_n}-{b_n}=2•{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$；
（3）证明：由（2）知，${b_{n+1}}+{c_{n+1}}=\frac{1}{2}（{{b_n}+{c_n}}）+4$，
∴${b_{n+1}}+{c_{n+1}}-8=\frac{{{b_n}+{c_n}}}{2}-4=\frac{1}{2}（{{b_n}+{c_n}-8}）$，
而b₁+c₁-8=0，
∴由上述递推关系可得，当n∈N^*时，b_n+c_n-8=0恒成立，
即b_n+c_n为定值8．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．