Question

18．求函数y=cos²x+asinx+$\frac{5}{8}$a+1（0≤x≤$\frac{π}{2}$）的最大值．

Answer 1

分析 根据二倍角公式整理所给的函数式，得到关于正弦的二次函数，
根据所给角x的范围，得到二次函数的定义域，
根据对称轴与所给定义域之间的关系，分类求得函数的最大值．

解答 解：函数y=f（x）=cos²x+asinx+$\frac{5}{8}$a+1
=1-sin²x+asinx+$\frac{5}{8}$a+1
=-${（sinx-\frac{a}{2}）}^{2}$+$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{5}{8}$a+2；
∵函数f（x）的定义域为[0，$\frac{π}{2}$]，
∴sinx∈[0，1]，
∴当0≤$\frac{a}{2}$≤1，即0≤a≤2时，f（x）的最大值是
f（x）_max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{5}{8}$a+2；
当$\frac{a}{2}$＜0，即a＜0时，f（x）在sinx=0时取得最大值是
f（x）_max=f（0）=$\frac{5}{8}$a+2；
当$\frac{a}{2}$＞1，即a＞2时，f（x）在sinx=1取得最大值是
f（x）_max=f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{13}{8}$a+1；
综上可知：a＜0时，f（x）_max=$\frac{5}{8}$a+1；
0≤a≤2时，f（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$+$\frac{5}{8}$a+2；
a＞2时，f（x）_max=$\frac{13}{8}$a+1．

点评 本题考查了二次函数在闭区间上的最值及三角函数变化整理的应用问题，解题的关键是对二次函数的对称轴讨论，是中档题．