Question

6．（Ⅰ）已知a＞0，求证：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}$-2
（Ⅱ） 已知p，q，r都是正数，求证：关于x的三个方程8x²-8$\sqrt{p}$x+q=0，8x²-8$\sqrt{q}$x+r=0，8x²-8$\sqrt{r}$x+p=0至少有一个方程有两个不相等的实根．

Answer 1

分析 （I）使用分析法证明；
（II）使用反证法证明．

解答 证明：（Ⅰ）要证：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$-$\sqrt{2}$≥a+$\frac{1}{a}$-2，
  只需证：$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$+2≥a+$\frac{1}{a}$+$\sqrt{2}$
只需证：a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+4+4$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$≥a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2+2+2$\sqrt{2}$（a+$\frac{1}{a}$），
即证：2$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2}$（a+$\frac{1}{a}$），
只需证：4（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）≥2（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$+2），
即证：a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$≥2，
而上式显然成立，
原不等式成立．
（Ⅱ）假设三个方程均无不相等的实根，则$\left\{\begin{array}{l}{2p-q≤0}\\{2q-r≤0}\\{2r-p≤0}\end{array}\right.$，
∴p+q+r≤0，与p，q，r都是正数矛盾．
∴故三个方程中至少有一个方程有两个不相等的实根．

点评 本题考查了分析法与反证法证明不等式，属于中档题．