Question

16．如图，已知一个八面体各棱长均为1，四边形ABCD为正方形，则下列命题中不正确的是（　　）

• A． 不平行的两条棱所在直线所成的角为60°或90°
• B． 四边形AECF为正方形
• C． 点A到平面BCE的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• D． 该八面体的顶点在同一个球面上

Answer 1

分析 由已知求出图中任意两棱所成角的大小判断A、B正确；再由等积法求出点A到平面BCE的距离说明C错误；由ABCD为正方形，AECF为正方形，且两正方形边长相等，中心都为AC的中点说明D正确．

解答 解：∵八面体的各条棱长均为1，四边形ABCD为正方形，
∴在四棱锥E-ABCD中，相邻两条侧棱所成的角为60°，
∵AE=CE=1，AC=$\sqrt{2}$，满足AE²+CE²=AC²，∴AE⊥CE，
同理AF⊥CF，则四边形AECF是正方形．
再由异面直线所成角概念可知，图中每一条棱与和其异面的棱所成角为60°．
故A、B正确；
设点A到平面BCE的距离h，由V_E-ABCD=2V_A-BCE，
得$\frac{1}{3}$×1×1×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}h$，解得h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴点A到平面BCE的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，故C错误；
由ABCD为正方形，AECF为正方形，且两正方形边长相等，中心都为AC的中点，
∴该八面体的顶点在以AC中点为球心，以$\frac{\sqrt{2}}{2}$为半径的球面上，故D正确．
∴不正确的命题是C．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查立体几何中线线关系以及线面关系，利用了等积法求点到平面的距离，是中档题．