Question

求f（x）=x²-2ax+1在[0，2]上的最值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：计算题

分析：这是一个定区间、动函数的二次函数的最值问题，函数的开口是向上的，对称轴是动的，需要按对称轴与定义域的关系进行分类计论．

解答： 解：函数f（x）=x²-2ax+1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=a，
①当a≤0时，函数f（x）=x²-2ax+1在区间[0，2]上是增函数，
∴f_min（x）=f（0）=1，f_max（x）=f（2）=4-4a+1=5-4a；
②当0＜a≤1时，函数f（x）=x²-2ax+1在区间[0，2]上先减后增，
∴fmin(x)=f(a)=a2-2a2+1=1-a2，f_max（x）=f（2）=4-4a+1=5-4a
③当1＜a≤2时，函数f（x）=x²-2ax+1在区间[0，2]上先减后增，
∴fmin(x)=f(a)=a2-2a2+1=1-a2，f_max（x）=f（0）=1；
④当a＞2时，函数f（x）=x²-2ax+1在区间[0，2]上是减函数，
∴f_min（x）=f（2）=4-4a+1=5-4a，f_max（x）=f（0）=1．

点评：本题考查了二次函数的最值问题，考查了分类讨论和数形结合的数学思想．