Question

求函数f（x）=

1-x2 2+x

的值域．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数的值域

专题：综合题,导数的综合应用

分析：由题意，可令t=x+2，进行换元，将函数转化为y=

1-(t-2)2 t ?

=

4-(t+ 3 t )?

，t∈（-∞，0）∪[1，3]，再利用导数求出最值即可得出值域

解答： 解：由题意可得（1-x²）（2+x）≥0且x≠-2，解得函数的定义域是（-∞，-2）∪[-1，1]
令t=x+2∈（-∞，0）∪[1，3]，则
y=

1-(t-2)2 t ?

=

4-(t+ 3 t )?

，由于t∈（-∞，0）∪[1，3]，
令m=t+

3

t

，则m′=1-

3

t2

，
令m′＞0，解得t＞

3

或t＜-

3

，令m′＜0，可解得-

3

＜t＜

3

∴m=t+

3

t

在（-∞，-

3

）与（

3

，3]上增，在（-

3

，0）与（1，

3

）上减
又m（-

3

）=-2

3

，m（

3

）=2

3

，m（1）=4，m（3）=4
∴m=t+

3

t

∈（-∞，-2

3

]∪[2

3

，4]，
∴4-(t+

3

t

)∈[0，4-2

3

]∪[4+2

3

，+∞），又4±2

3

=（

3

±1）²
∴函数f（x）=

1-x2 2+x

的值域为[0，

3

-1]∪[

3

+1，+∞）

点评：本题考查导数的综合运用，利用导数求函数值域及最值是导数的重要运用，本题在解答时采用了研究局部的技巧，此类技巧近几年高考压轴题中时有出现．