Question

如图，抛物线C：x²=2py与圆O：x²+y²=1在第一象限的交点为Q，圆O和抛物线C在点Q处的切线的斜率分别为k₁，k₂，若k₁+k₂=1，则p=

 

．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设Q（m，n），则圆O在Q处的切线方程为mx+ny=1，则k₁=-

m

n

，求导数可得k₂=

m

p

，利用k₁+k₂=1，可得-

m

n

+

m

p

=1，
结合m²=2pn，m²+n²=1，即可求出p的值．

解答： 解：设Q（m，n），则圆O在Q处的切线方程为mx+ny=1，则k₁=-

m

n

，
∵抛物线C：x²=2py，∴y′=

x

p

，∴k₂=

m

p

，
∵k₁+k₂=1，
∴-

m

n

+

m

p

=1，
∵m²=2pn，m²+n²=1，
∴p=

2

4

，m=n=

2

2

，
故答案为：

2

4

．

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查切线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．