Question

已知函数f（x）=

1-(x-1)2 ，0≤x＜2 f(x-2)，x≥2

，若对于正数k_n（n∈N^*），直线y=k_nx与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，则数列{k_n²}的前n项和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：可知y=f（x）的图象是一系列半径为1的半圆，由题意知直线y=k_nx与第n+1个半圆相切，由此可求kn2，然后利用裂项相消法可求答案．

解答： 解：函数y=f（x）的图象是一系列半径为1的半圆，
∵直线y=k_nx与函数y=f（x）的图象恰有2n+1个不同交点，
∴直线y=k_nx与第n+1个半圆相切，∴

(2n+1)kn

1+ k 2 n

=1，

k

2 n

=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴

k

2 1

+

k

2 2

+…+

k

2 n

=

n

4n+4

．
故答案为：

n

4n+4

．

点评：该题考查数列的求和、直线与圆的位置关系，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点．